2.3 函数的零点
2 一元函数连续性 · 共 30 题
第1题证明题
1．用实数完备性定理证明连续函数的零点存在定理或介值定理．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(a) f(b)<0$ ，那么必然存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，满足 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 卜连续，且 $\displaystyle f(a)<0, f(b)>0$ ，则存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)=0$ ，且 $\displaystyle \forall x \in(c, b], f(x)>0$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，并至少有一个零点，求证：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必有最小零点．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(a) f(b)<0$ ，那么必然存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，满足 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 卜连续，且 $\displaystyle f(a)<0, f(b)>0$ ，则存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)=0$ ，且 $\displaystyle \forall x \in(c, b], f(x)>0$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，并至少有一个零点，求证：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必有最小零点．
中国科学技术大学 1997北京科技大学 1998西北大学 2000北京科技大学 2001华东理工大学 2001西南大学 2003北京工业大学 2004华东理工大学 2004
+12
第2题证明题
2．证明零点存在定理的推广．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A<0, \lim _{x \rightarrow b} f(x)=B>0$ ，则 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l>f(a), \forall \eta \in(f(a), l)$ ，证明：（1）$\displaystyle \exists c_{1} \in(a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f\left(c_{1}\right)>\eta$ ；（2）$\displaystyle \exists c_{2} \in(a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f\left(c_{2}\right)=\eta$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A<0, \lim _{x \rightarrow b} f(x)=B>0$ ，则 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l>f(a), \forall \eta \in(f(a), l)$ ，证明：（1）$\displaystyle \exists c_{1} \in(a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f\left(c_{1}\right)>\eta$ ；（2）$\displaystyle \exists c_{2} \in(a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f\left(c_{2}\right)=\eta$ 。
四川大学 1999首都师范大学 2009
第3题证明题
3．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 a]$ 上连续，且 $\displaystyle f(0)=f(2 a)$ ．证明：方程 $\displaystyle f(x)=f(x+a)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 内至少有一个根．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, a+2 \alpha]$ 上连续，证明：$\displaystyle \exists \xi \in[a, a+\alpha]$ ，使得
$$
f(\xi+\alpha)-f(\xi)=\frac{f(a+2 \alpha)-f(a)}{2} . }
$$
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 a]$ 上连续，且 $\displaystyle f(0)=f(2 a)$ ．证明：方程 $\displaystyle f(x)=f(x+a)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 内至少有一个根．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, a+2 \alpha]$ 上连续，证明：$\displaystyle \exists \xi \in[a, a+\alpha]$ ，使得
$$
f(\xi+\alpha)-f(\xi)=\frac{f(a+2 \alpha)-f(a)}{2} . }
$$
东北师范大学 2002上海交大 2004陕西师范大学 2005江苏大学 2007武汉科技大学 2011武汉大学 2013北京科技大学 2014聊城大学 2014
第4题证明题
4．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(a)=f(b)$ ．证明：对任意自然数 $\displaystyle n$ ，存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+\frac{b-a}{n}\right)$.
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle f(0)=f(1)$ ．证明：对任意自然数 $\displaystyle n$ ，存在 $\displaystyle x_{0} \in\left[0,1-\frac{1}{n}\right]$ ，使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+\frac{1}{n}\right)$ ．（江苏大学 2011，延安大学 $\displaystyle 2000 / 2004(n=4)$ ，华中师大 $\displaystyle 2006(n=2)$ ，湖北大学 2003（ $\displaystyle n=3$ ），上海大学 2004（ $\displaystyle n=3$ ），西安理工 2005，河海大学 2000，西北大学 2007）
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：对任意自然数 $\displaystyle n$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使， $\displaystyle \int_{\xi}^{\xi+\frac{1}{n}} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(a)=f(b)$ ．证明：对任意自然数 $\displaystyle n$ ，存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+\frac{b-a}{n}\right)$.
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle f(0)=f(1)$ ．证明：对任意自然数 $\displaystyle n$ ，存在 $\displaystyle x_{0} \in\left[0,1-\frac{1}{n}\right]$ ，使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+\frac{1}{n}\right)$ ．（江苏大学 2011，延安大学 $\displaystyle 2000 / 2004(n=4)$ ，华中师大 $\displaystyle 2006(n=2)$ ，湖北大学 2003（ $\displaystyle n=3$ ），上海大学 2004（ $\displaystyle n=3$ ），西安理工 2005，河海大学 2000，西北大学 2007）
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：对任意自然数 $\displaystyle n$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使， $\displaystyle \int_{\xi}^{\xi+\frac{1}{n}} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。
西北师范大学 2004四川大学 2009
第5题证明题
5．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ ，且有一组正数 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}>0$ 满足 $\displaystyle \lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=1$ ，证明：存在 $\displaystyle c \in[a, b]$ ，使 $\displaystyle f(c)=\lambda_{1} f\left(x_{1}\right)+\lambda_{2} f\left(x_{2}\right)+\cdots+\lambda_{n} f\left(x_{n}\right)$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，且 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in(a, b)$ 。证明：仔在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=\frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n}(2 k-1) f\left(x_{k}\right)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，且 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in(a, b)$ 。证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使
$$
f(\xi)=\frac{2}{n(n+1)}\left(f\left(x_{1}\right)+2 f\left(x_{2}\right)+\cdots+n f\left(x_{n}\right)\right) . \text { }
$$
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 士连续， $\displaystyle 0<\lambda<1$ ，求证：存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=\lambda f(a)+(1-\lambda) f(b)$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ ，且有一组正数 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}>0$ 满足 $\displaystyle \lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=1$ ，证明：存在 $\displaystyle c \in[a, b]$ ，使 $\displaystyle f(c)=\lambda_{1} f\left(x_{1}\right)+\lambda_{2} f\left(x_{2}\right)+\cdots+\lambda_{n} f\left(x_{n}\right)$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，且 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in(a, b)$ 。证明：仔在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=\frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n}(2 k-1) f\left(x_{k}\right)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，且 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in(a, b)$ 。证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使
$$
f(\xi)=\frac{2}{n(n+1)}\left(f\left(x_{1}\right)+2 f\left(x_{2}\right)+\cdots+n f\left(x_{n}\right)\right) . \text { }
$$
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 士连续， $\displaystyle 0<\lambda<1$ ，求证：存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=\lambda f(a)+(1-\lambda) f(b)$ 。
江苏大学 2003苏州大学 2003重失师大 2003~n 2004温州大学 2004深圳大学 2005南京农业大学 2006安徵大学 2006
+9
第6题证明题
6．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，且 $\displaystyle f(a) \geqslant a, f(b) \leqslant b$ ．在以下两种情况下，证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ 使 $\displaystyle f(\xi)=\xi$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续；（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调增加但未必连续．
（厦门大学 2013／2014，南航 2011，中科大 2011，武汉大学 2006，天津工大 2005，西南大学 2005，首都师大 2000，安徽大学 1999，南开大学 2010，重庆大学 2009，苏州大学 $\displaystyle 2001 / 2009 / 2008$（ $\displaystyle [a, b]=[0,1]$ ），苏州科技 2009 ，燕山大学 2004 ，河北大学 2010 ，吉林大学 2003 ，上海交大 2001 ，宁波大学 2009 ，武汉科技 2008 ，山东大学1981，南京农大2008，杭州师大 2006（ $\displaystyle [a, b]=[0,1]$ ）
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续；（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调增加但未必连续．
（厦门大学 2013／2014，南航 2011，中科大 2011，武汉大学 2006，天津工大 2005，西南大学 2005，首都师大 2000，安徽大学 1999，南开大学 2010，重庆大学 2009，苏州大学 $\displaystyle 2001 / 2009 / 2008$（ $\displaystyle [a, b]=[0,1]$ ），苏州科技 2009 ，燕山大学 2004 ，河北大学 2010 ，吉林大学 2003 ，上海交大 2001 ，宁波大学 2009 ，武汉科技 2008 ，山东大学1981，南京农大2008，杭州师大 2006（ $\displaystyle [a, b]=[0,1]$ ）
山东大学 1981安徽大学 1999首都师范大学 2000上海交大 2001吉林大学 2003燕山大学 2004天津工业大学 2005西南大学 2005
+12
第7题证明题
7．证明下列命题。
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，对于任意的 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，有 $\displaystyle f(x) \in(a, b)$ ，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 1$ 。证明：存在唯一的 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=\xi$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(a)>g(a), f(b)<g(b)$ 。证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=g(\xi)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且满足 $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ 。试证：对任何自然数 $\displaystyle n$ ，都存在 $\displaystyle \xi_{n} \in[0,1]$ ，使得 $\displaystyle f\left(\xi_{n}\right)=\xi_{n}^{n}$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，对于任意的 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，有 $\displaystyle f(x) \in(a, b)$ ，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 1$ 。证明：存在唯一的 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=\xi$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(a)>g(a), f(b)<g(b)$ 。证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=g(\xi)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且满足 $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ 。试证：对任何自然数 $\displaystyle n$ ，都存在 $\displaystyle \xi_{n} \in[0,1]$ ，使得 $\displaystyle f\left(\xi_{n}\right)=\xi_{n}^{n}$ ．
西安交大 1997吉林大学 2002安徽大学 2002东北大学 2003辽宁大学 2004辽宁大学 2005河北大学 2007山东科技大学 2008
+4
第8题证明题
8．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 卜单调增加，且 $\displaystyle f(0) \geqslant 0, f(1) \leqslant 1$ ．证明：在 $\displaystyle [0,1]$ 上必存在 $\displaystyle x_{0}$ ，使
$\displaystyle f\left(x_{0}\right)=x_{0}^{3}$ ．
$\displaystyle f\left(x_{0}\right)=x_{0}^{3}$ ．
大连理工－山东大学 2005
第9题证明题
9．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 的自身映射，且 $\displaystyle |f(x)-f(y)| \leqslant k|x-y|, 0 \leqslant k<1$ 。任取 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，令 $\displaystyle x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1,2, \cdots$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 有极限，且极限为 $\displaystyle f(x)$ 的不动点。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant c<1, \forall x \in[a, b] . \forall x_{0} \in[a, b]$ ，令 $\displaystyle x_{1}=f\left(x_{0}\right)$ ， $\displaystyle x_{n}=f\left(x_{n-1}\right)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫于 $\displaystyle [a, b]$ 某点 $\displaystyle d$ ，且 $\displaystyle \left|x_{n}-d\right| \leqslant \frac{c^{n}}{1-c}\left|x_{1}-x_{0}\right|$ 或 $\displaystyle f(x)$ 有且仅有一个不动点．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 的自身映射，且 $\displaystyle |f(x)-f(y)| \leqslant L|x-y|, 0<L<1$ 。任取 $\displaystyle x_{1} \in[a, b]$ ，令 $\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+f\left(x_{n}\right)\right)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 有极限，且极限为 $\displaystyle f(x)$ 的不动点。中山大学 2011）
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 的自身映射，且 $\displaystyle |f(x)-f(y)|<|x-y|, x, y \in[a, b]$ 。设 $\displaystyle x_{1} \in[a, b]$ ，并且定义序列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}: x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+f\left(x_{n}\right)\right), n=1,2, \cdots$ 。试证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=x$ 存在，且 $\displaystyle f(x)=x$ 。
（5）证明：（1）$\displaystyle \exists c \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle c=\mathrm{e}^{-c}$ ；（2）任给 $\displaystyle x_{1} \in(0,1)$ ，定义 $\displaystyle x_{n+1}=\mathrm{e}^{-x_{n}}, n \geqslant 1$ 。则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=c$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 的自身映射，且 $\displaystyle |f(x)-f(y)| \leqslant k|x-y|, 0 \leqslant k<1$ 。任取 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，令 $\displaystyle x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1,2, \cdots$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 有极限，且极限为 $\displaystyle f(x)$ 的不动点。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant c<1, \forall x \in[a, b] . \forall x_{0} \in[a, b]$ ，令 $\displaystyle x_{1}=f\left(x_{0}\right)$ ， $\displaystyle x_{n}=f\left(x_{n-1}\right)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫于 $\displaystyle [a, b]$ 某点 $\displaystyle d$ ，且 $\displaystyle \left|x_{n}-d\right| \leqslant \frac{c^{n}}{1-c}\left|x_{1}-x_{0}\right|$ 或 $\displaystyle f(x)$ 有且仅有一个不动点．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 的自身映射，且 $\displaystyle |f(x)-f(y)| \leqslant L|x-y|, 0<L<1$ 。任取 $\displaystyle x_{1} \in[a, b]$ ，令 $\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+f\left(x_{n}\right)\right)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 有极限，且极限为 $\displaystyle f(x)$ 的不动点。中山大学 2011）
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 的自身映射，且 $\displaystyle |f(x)-f(y)|<|x-y|, x, y \in[a, b]$ 。设 $\displaystyle x_{1} \in[a, b]$ ，并且定义序列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}: x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+f\left(x_{n}\right)\right), n=1,2, \cdots$ 。试证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=x$ 存在，且 $\displaystyle f(x)=x$ 。
（5）证明：（1）$\displaystyle \exists c \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle c=\mathrm{e}^{-c}$ ；（2）任给 $\displaystyle x_{1} \in(0,1)$ ，定义 $\displaystyle x_{n+1}=\mathrm{e}^{-x_{n}}, n \geqslant 1$ 。则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=c$ 。
中国人民大学 2000华中科技 2000郑州大学 2001陕西师范大学 2001首都师范大学 2002青岛大学 2003新疆大学 2005湖南师范大学 2005
+14
第10题证明题
10．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x), g(x):[0,1] \rightarrow[0,1]$ 连续，且对任意 $\displaystyle x \in[0,1], f(g(x))=g(f(x))$ ．求证：若 $\displaystyle f(x)$递减，则存在唯一的 $\displaystyle x_{0} \in[0,1]$ ，使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)=x_{0}$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x):[0,1] \rightarrow[0,1]$ 为连续函数，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1, f(f(x))=x$ 。证明：$\displaystyle f(x)=x$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续且 $\displaystyle f(f(x))=x$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 存在不动点．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \forall x \in[a, b],\left|f(x)-\frac{b+a}{2}\right| \leqslant \frac{b-a}{2}$ ．证明：$\displaystyle f(f(x))=x$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在不动点．
（1）设函数 $\displaystyle f(x), g(x):[0,1] \rightarrow[0,1]$ 连续，且对任意 $\displaystyle x \in[0,1], f(g(x))=g(f(x))$ ．求证：若 $\displaystyle f(x)$递减，则存在唯一的 $\displaystyle x_{0} \in[0,1]$ ，使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)=x_{0}$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x):[0,1] \rightarrow[0,1]$ 为连续函数，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1, f(f(x))=x$ 。证明：$\displaystyle f(x)=x$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续且 $\displaystyle f(f(x))=x$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 存在不动点．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \forall x \in[a, b],\left|f(x)-\frac{b+a}{2}\right| \leqslant \frac{b-a}{2}$ ．证明：$\displaystyle f(f(x))=x$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在不动点．
中南大学 2007扬州大学 2007扬州大学 2010杭州师大 2010山东科技大学 2012
第11题证明题
11．设 $\displaystyle f: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}$ 为二元连续函数．证明：存在两个不同的点 $\displaystyle p, q$ ，使得 $\displaystyle f(p)=f(q)$ ．
南京大学 2007
第12题证明题
12．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x):[0,1] \rightarrow[0,+\infty)$ 为满足 $\displaystyle \sup _{0 \leq x \leq 1} f(x)=\sup _{0 \leq x \leq 1} g(x)$ 的连续函数。证明：存在 $\displaystyle t \in[0,1]$ ，使得 $\displaystyle \mathrm{e}^{f(t)}-f(t)=\mathrm{e}^{g(t)}-g(t)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的函数，满足 $\displaystyle \max _{0 \leq x \leq 1} f(x)=\max _{0 \leq x \leq 1} g(x)$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[0,1]$ ，使得 $\displaystyle \mathrm{e}^{f\left(x_{0}\right)}+3 f\left(x_{0}\right)=\mathrm{e}^{g\left(x_{0}\right)}+3 g\left(x_{0}\right)$.
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x):[0,1] \rightarrow[0,+\infty)$ 为满足 $\displaystyle \sup _{0 \leq x \leq 1} f(x)=\sup _{0 \leq x \leq 1} g(x)$ 的连续函数。证明：存在 $\displaystyle t \in[0,1]$ ，使得 $\displaystyle \mathrm{e}^{f(t)}-f(t)=\mathrm{e}^{g(t)}-g(t)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的函数，满足 $\displaystyle \max _{0 \leq x \leq 1} f(x)=\max _{0 \leq x \leq 1} g(x)$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[0,1]$ ，使得 $\displaystyle \mathrm{e}^{f\left(x_{0}\right)}+3 f\left(x_{0}\right)=\mathrm{e}^{g\left(x_{0}\right)}+3 g\left(x_{0}\right)$.
中国科学技术大学 2006北京大学 2014
第13题证明题
13．设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且存在 $\displaystyle x_{n} \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle f\left(x_{n+1}\right)=g\left(x_{n}\right)(n=1,2,3, \cdots)$ ．证明：必存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)$ ．
西北大学 2009
第14题证明题
14．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，$\displaystyle n$ 为奇数．证明：若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x^{n}}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x^{n}}=0$ ，则方程
$\displaystyle f(x)+x^{n}=0$ 有实根．
$\displaystyle f(x)+x^{n}=0$ 有实根．
浙江大学 2010
第15题证明题
15．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}$ 。证明：当 $\displaystyle n$ 为偶数时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上无零点；当 $\displaystyle n$ 为奇数时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有且只有一个零点。
（2）证明：奇次多项式至少存在一个实根．
（3）方程 $\displaystyle x^{n}+p x+q=0$（ $\displaystyle n$ 为正整数）当 $\displaystyle n$ 为偶数时至多有两个实根；当 $\displaystyle n$ 为奇数时至多有三个实根．
（4）设 $\displaystyle a>0, b>0$ ，证明方程 $\displaystyle x^{3}+a x+b=0$ 有唯一的负实根．
（1）设 $\displaystyle f(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}$ 。证明：当 $\displaystyle n$ 为偶数时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上无零点；当 $\displaystyle n$ 为奇数时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有且只有一个零点。
（2）证明：奇次多项式至少存在一个实根．
（3）方程 $\displaystyle x^{n}+p x+q=0$（ $\displaystyle n$ 为正整数）当 $\displaystyle n$ 为偶数时至多有两个实根；当 $\displaystyle n$ 为奇数时至多有三个实根．
（4）设 $\displaystyle a>0, b>0$ ，证明方程 $\displaystyle x^{3}+a x+b=0$ 有唯一的负实根．
北京工业大学 2006北京工业大学 2007陕西师范大学 2007江苏大学 2011上海财经大学 2014昆明理工大学 2014
第16题证明题
16．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\sin x-\frac{1}{\ln x}$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [2,+\infty)$ 内有无穷多个零点．
（2）证明方程 $\displaystyle x \mathrm{e}^{x}=2$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内有且仅有一个实根．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\sin x-\frac{1}{\ln x}$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [2,+\infty)$ 内有无穷多个零点．
（2）证明方程 $\displaystyle x \mathrm{e}^{x}=2$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内有且仅有一个实根．
南京大学 2002徐州师范大学 2010
第17题讨论/判定题
17．研究下列方程的实根。
（1）设 $\displaystyle k>0$ ，试问 $\displaystyle k$ 为何值时，方程 $\displaystyle \arctan x-k x=0$ 存在正实根．
（2）设当 $\displaystyle k>0$ 时，方程 $\displaystyle k x+\frac{1}{x^{2}}=1$ 有且仅有一个解，求 $\displaystyle k$ 的取值范围．
（3）讨论曲线 $\displaystyle y=4 \ln x+k$ 与 $\displaystyle y=4 x+\ln ^{4} x$ 的交点的个数，其中 $\displaystyle k$ 为参数．
（1）设 $\displaystyle k>0$ ，试问 $\displaystyle k$ 为何值时，方程 $\displaystyle \arctan x-k x=0$ 存在正实根．
（2）设当 $\displaystyle k>0$ 时，方程 $\displaystyle k x+\frac{1}{x^{2}}=1$ 有且仅有一个解，求 $\displaystyle k$ 的取值范围．
（3）讨论曲线 $\displaystyle y=4 \ln x+k$ 与 $\displaystyle y=4 x+\ln ^{4} x$ 的交点的个数，其中 $\displaystyle k$ 为参数．
西安电子 2005徐州师范大学 2006湖南师范大学 2007北京交大 2010中山大学 2011
第18题求解题
18．研究下列方程的实根。
（1）求 $\displaystyle f(x)=a x-\ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的极值；求方程 $\displaystyle a x=\ln x$ 有两个正实根的条件。
（2）试研究方程 $\displaystyle a x=\ln x,(a>0)$ 的实根的个数。
（1）求 $\displaystyle f(x)=a x-\ln x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的极值；求方程 $\displaystyle a x=\ln x$ 有两个正实根的条件。
（2）试研究方程 $\displaystyle a x=\ln x,(a>0)$ 的实根的个数。
中山大学 2003南京师范大学 2007西安电子科技大学 2009
第19题未分类
19．研究下列方程的实根．
（1）$\displaystyle x=\mathrm{e}^{a x},(a>0)$ ．
（2）$\displaystyle x \ln x+a=0$ ．
（3） $\displaystyle \ln x=a x^{2}, ~(a>0)$ 。
（1）$\displaystyle x=\mathrm{e}^{a x},(a>0)$ ．
（2）$\displaystyle x \ln x+a=0$ ．
（3） $\displaystyle \ln x=a x^{2}, ~(a>0)$ 。
西安电子科技大学 2004华南理工大学 2006南京大学 2006武汉理工大学 2006南京财经大学 2007
第20题证明题
20．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle f(x) \geqslant c>0$ ．又 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：$\displaystyle F(x)=0$ 在 （ $\displaystyle a, b$ ）上有且仅有一个实根．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x) \neq 0$ 。证明：方程 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{b}^{x} \frac{\mathrm{~d} t}{f(t)}=0$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有唯一实根．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，$\displaystyle f(x)>0$ 。令 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{b}^{x} \frac{1}{f(t)} \mathrm{d} t$ 。证明：$\displaystyle F^{\prime}(x) \geqslant 2$且 $\displaystyle F(x)=0$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上仅有一个实根．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)>0$ ．又 $\displaystyle F(x)=\int_{\frac{x}{2}}^{1} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{\frac{x}{2}} \frac{1}{f(t)} \mathrm{d} t$ ．证明：$\displaystyle F(x)=0$ 在 $\displaystyle (0,2)$ 上有且仅有一个实根．
（5）设对任意 $\displaystyle A>0, f(x)$ 在 $\displaystyle [0, A]$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{+x} f(x) \mathrm{d} x \neq 0$ 收敛．又对 $\displaystyle x>0$ ， $\displaystyle \varphi(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{x}^{+\infty} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：$\displaystyle \varphi(x)=0$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内至少有一个实根．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上的正值连续函数．证明：方程 $\displaystyle \frac{1}{f(x)} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\frac{\int_{0}^{1-x} f(t) \mathrm{d} t}{f(1-x)}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 至少有一个实根．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle f(x) \geqslant c>0$ ．又 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：$\displaystyle F(x)=0$ 在 （ $\displaystyle a, b$ ）上有且仅有一个实根．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x) \neq 0$ 。证明：方程 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{b}^{x} \frac{\mathrm{~d} t}{f(t)}=0$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有唯一实根．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，$\displaystyle f(x)>0$ 。令 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{b}^{x} \frac{1}{f(t)} \mathrm{d} t$ 。证明：$\displaystyle F^{\prime}(x) \geqslant 2$且 $\displaystyle F(x)=0$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上仅有一个实根．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)>0$ ．又 $\displaystyle F(x)=\int_{\frac{x}{2}}^{1} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{\frac{x}{2}} \frac{1}{f(t)} \mathrm{d} t$ ．证明：$\displaystyle F(x)=0$ 在 $\displaystyle (0,2)$ 上有且仅有一个实根．
（5）设对任意 $\displaystyle A>0, f(x)$ 在 $\displaystyle [0, A]$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{+x} f(x) \mathrm{d} x \neq 0$ 收敛．又对 $\displaystyle x>0$ ， $\displaystyle \varphi(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{x}^{+\infty} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：$\displaystyle \varphi(x)=0$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内至少有一个实根．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上的正值连续函数．证明：方程 $\displaystyle \frac{1}{f(x)} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\frac{\int_{0}^{1-x} f(t) \mathrm{d} t}{f(1-x)}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 至少有一个实根．
西安交大 1998华中师范大学 2000南京大学 2000南京师范大学 2001兰州大学 2002吉林师大 2002云南大学 2005华中科技 2006
+7
第21题证明题
21．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续（或可积），试证明：存在 $\displaystyle c \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x=\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上有界可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：存在常数 $\displaystyle \alpha \in[0,1]$ 使 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\alpha+1} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。
（3）如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则在积分区间 $\displaystyle [a, b]$ 上至少存在一点 $\displaystyle \xi$ ，使 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) d x=f(\xi)(b-a)$ 。曲阜师大2007，广西民大2007，计量学院2009，首都师大2009）
（4）若 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上不变号，则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ 。广西大学 2005，青岛大学 2009，河南大学 2001，昆明理工 2007，西南交大 2007，燕山大学 2009）
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上不变号，$\displaystyle M, m$ 分别为 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上的上、下确界，则必存在某实数 $\displaystyle \mu(m \leqslant \mu \leqslant M)$ ，使得 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=\mu \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续，证明存在 $\displaystyle \xi \in[0, \pi]$ ，使得 $\displaystyle 2 f(\xi)=\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \mathrm{~d} x$ 。
（7）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若函数 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上单调增加，连续可微，则存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=g(a) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x+g(b) \int_{\xi}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（8）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin x}{x}, x \in(0,1], \text { 证明对任意自然数 } n \geqslant 2, \text { 存在唯一 } x_{n} \in(0,1) \text { 使得 } \\ 1, x=0,\end{array}\right. \int_{\frac{1}{n}}^{x_{n}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\int_{x_{n}}^{1} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ 。进一步 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}$ 存在。哈工大 2006）
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续（或可积），试证明：存在 $\displaystyle c \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x=\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上有界可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：存在常数 $\displaystyle \alpha \in[0,1]$ 使 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\alpha+1} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。
（3）如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则在积分区间 $\displaystyle [a, b]$ 上至少存在一点 $\displaystyle \xi$ ，使 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) d x=f(\xi)(b-a)$ 。曲阜师大2007，广西民大2007，计量学院2009，首都师大2009）
（4）若 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上不变号，则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ 。广西大学 2005，青岛大学 2009，河南大学 2001，昆明理工 2007，西南交大 2007，燕山大学 2009）
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上不变号，$\displaystyle M, m$ 分别为 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上的上、下确界，则必存在某实数 $\displaystyle \mu(m \leqslant \mu \leqslant M)$ ，使得 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=\mu \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续，证明存在 $\displaystyle \xi \in[0, \pi]$ ，使得 $\displaystyle 2 f(\xi)=\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \mathrm{~d} x$ 。
（7）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若函数 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上单调增加，连续可微，则存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=g(a) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x+g(b) \int_{\xi}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（8）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin x}{x}, x \in(0,1], \text { 证明对任意自然数 } n \geqslant 2, \text { 存在唯一 } x_{n} \in(0,1) \text { 使得 } \\ 1, x=0,\end{array}\right. \int_{\frac{1}{n}}^{x_{n}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\int_{x_{n}}^{1} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ 。进一步 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}$ 存在。哈工大 2006）
北京航空航天大学 1998江苏大学 2007安徽工大 2008河北工业大学 2008南京大学 2011南京航空航天大学 2011山东科技大学 2011杭州师大 2012
第22题证明题
22．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：$\displaystyle \exists x_{1}, x_{2} \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且存在非负整数 $\displaystyle m$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{b} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=0, n=1,2, \cdots, m$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$内至少存在 $\displaystyle m+1$ 个零点．
（3）设 $\displaystyle f(x):[0,1] \rightarrow \mathbf{R}$ 是连续函数，若 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=0$ 对所有非负整数 $\displaystyle n$ 成立，则 $\displaystyle f(x)$ 在 ［0，1］1恒等于 0 ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：$\displaystyle \exists x_{1}, x_{2} \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且存在非负整数 $\displaystyle m$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{b} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=0, n=1,2, \cdots, m$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$内至少存在 $\displaystyle m+1$ 个零点．
（3）设 $\displaystyle f(x):[0,1] \rightarrow \mathbf{R}$ 是连续函数，若 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=0$ 对所有非负整数 $\displaystyle n$ 成立，则 $\displaystyle f(x)$ 在 ［0，1］1恒等于 0 ．
北京航空航天大学 2002湖北大学 2002福建师范大学 2005中国科学技术大学 2006中国科学院 2006北京师范大学 2006北京科技大学 2006华南理工大学 2008
+4
第23题证明题
23．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续，在 $\displaystyle (0, \pi)$ 可导，且 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \mathrm{~d} x=0, \int_{0}^{\pi} f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0$ ．证明：在 $\displaystyle (0, \pi)$ 内存在 $\displaystyle \xi$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{\pi} f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0$ ．证明：在 $\displaystyle (0, \pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}$ ，使得 $\displaystyle f\left(\xi_{1}\right)=f\left(\xi_{2}\right)$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续，在 $\displaystyle (0, \pi)$ 可导，且 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \mathrm{~d} x=0, \int_{0}^{\pi} f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0$ ．证明：在 $\displaystyle (0, \pi)$ 内存在 $\displaystyle \xi$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{\pi} f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0$ ．证明：在 $\displaystyle (0, \pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}$ ，使得 $\displaystyle f\left(\xi_{1}\right)=f\left(\xi_{2}\right)$ ．
北京科技大学 2005西北师范大学 2014
第24题证明题
24．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上非负连续，且 $\displaystyle f(1)=0$ ．证明：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ ，使 $\displaystyle \int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二次可微，且 $\displaystyle f(0) f(1)>0, f^{\prime \prime}(x)>0,(0<x<1), \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内恰有两个零点；
（2）在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=f^{\prime}(\xi)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(a) f(b)>0$ ，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上至少有两个不同的零点；
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 存在二阶导数，$\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上只有两个不同的零点．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，$\displaystyle \forall x \in[a, b], f(x)>0$ ．证明：至少 $\displaystyle \exists c \in(a, b)$ ，使 $\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x=\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x$.
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上非负连续，且 $\displaystyle f(1)=0$ ．证明：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ ，使 $\displaystyle \int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二次可微，且 $\displaystyle f(0) f(1)>0, f^{\prime \prime}(x)>0,(0<x<1), \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内恰有两个零点；
（2）在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=f^{\prime}(\xi)$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(a) f(b)>0$ ，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上至少有两个不同的零点；
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 存在二阶导数，$\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上只有两个不同的零点．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，$\displaystyle \forall x \in[a, b], f(x)>0$ ．证明：至少 $\displaystyle \exists c \in(a, b)$ ，使 $\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x=\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x$.
首都师范大学 2005南京财经大学 2008安徽师大 2008温州大学 2008东南大学 2009南京财经大学 2012
第25题证明题
25．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 内连续，在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内可导，当 $\displaystyle x>a$ 时 $\displaystyle f^{\prime}(x)>k>0$ ．证明：若 $\displaystyle f(a)<0$ ，则方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle \left(a, a-\frac{f(a)}{k}\right)$（或 $\displaystyle (a,+\infty)$ ）内有且仅有一个实根．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, 1)$ 存在二阶导数，$\displaystyle f^{\prime}(1)>0, f(1)>0, f^{\prime}(x)$ 严格单调减少。证明：$\displaystyle f(x)$
在 $\displaystyle (-\infty, 1)$ 内至少有一个实根．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 内连续，在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内二阶可导，$\displaystyle f(a)>0, f^{\prime}(a)<0$ 且 $\displaystyle x>a$ 时 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0$ ．求证：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty$ ；（2）在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 内方程 $\displaystyle f(x)=0$ 有且仅有一个实根．（浙江大学 2003，西安电子科技 2008 ，北京科技 2009 ，厦门大学 $\displaystyle 2005 / 2004$ ，上海理工 2005 ，南京师大 2003 ，西安建筑科技2006，中山大学2009（ $\displaystyle \mathrm{a}=1$ ），安徽师大2007）
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 内连续，$\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0, f(1)=2, f^{\prime}(1)=-3$ 。求证：在 $\displaystyle (1, \infty)$ 内方程 $\displaystyle f(x)=0$ 有且仅有一个实根．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 内连续，在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内可导，当 $\displaystyle x>a$ 时 $\displaystyle f^{\prime}(x)>k>0$ ．证明：若 $\displaystyle f(a)<0$ ，则方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle \left(a, a-\frac{f(a)}{k}\right)$（或 $\displaystyle (a,+\infty)$ ）内有且仅有一个实根．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, 1)$ 存在二阶导数，$\displaystyle f^{\prime}(1)>0, f(1)>0, f^{\prime}(x)$ 严格单调减少。证明：$\displaystyle f(x)$
在 $\displaystyle (-\infty, 1)$ 内至少有一个实根．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 内连续，在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内二阶可导，$\displaystyle f(a)>0, f^{\prime}(a)<0$ 且 $\displaystyle x>a$ 时 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0$ ．求证：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty$ ；（2）在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 内方程 $\displaystyle f(x)=0$ 有且仅有一个实根．（浙江大学 2003，西安电子科技 2008 ，北京科技 2009 ，厦门大学 $\displaystyle 2005 / 2004$ ，上海理工 2005 ，南京师大 2003 ，西安建筑科技2006，中山大学2009（ $\displaystyle \mathrm{a}=1$ ），安徽师大2007）
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 内连续，$\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0, f(1)=2, f^{\prime}(1)=-3$ 。求证：在 $\displaystyle (1, \infty)$ 内方程 $\displaystyle f(x)=0$ 有且仅有一个实根．
西南大学 2002南京大学 2003东北师范大学 2004天津工业大学 2006暨南大学 2006湖北大学 2006南开大学 2007中山大学 2009
+2
第26题证明题
26．证明下列结论。
（1）设 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 0, \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=\alpha>0, f\left(x_{0}\right)<0$ ．试证 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0},+\infty\right)$ 内有且仅有一个零点．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上具有二阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0, \lim _{x \rightarrow-x} f^{\prime}(x)=\alpha<0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\beta>0$ ．又存在一点 $\displaystyle x_{0}$ ，使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)<0$ ．证明方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有且只有两个实根．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内有连续的一阶导数。试证：
（1）若 $\displaystyle \lim _{|x| \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\alpha>0$ ，则方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内至少有一个实根．
（2）若 $\displaystyle \lim _{|x| \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，则方程 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内至少有一个实根．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, a)$ 内可导。若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-x} f^{\prime}(x)=\beta<0, \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{x-a}=\alpha>0$ 。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty$ ，且 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty, a)$ 内至少有一个零点．
（1）设 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 0, \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=\alpha>0, f\left(x_{0}\right)<0$ ．试证 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0},+\infty\right)$ 内有且仅有一个零点．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上具有二阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0, \lim _{x \rightarrow-x} f^{\prime}(x)=\alpha<0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\beta>0$ ．又存在一点 $\displaystyle x_{0}$ ，使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)<0$ ．证明方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有且只有两个实根．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内有连续的一阶导数。试证：
（1）若 $\displaystyle \lim _{|x| \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\alpha>0$ ，则方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内至少有一个实根．
（2）若 $\displaystyle \lim _{|x| \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，则方程 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内至少有一个实根．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, a)$ 内可导。若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-x} f^{\prime}(x)=\beta<0, \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{x-a}=\alpha>0$ 。证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty$ ，且 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (-\infty, a)$ 内至少有一个零点．
上海交大 2002大连理工大学 2005昆明理工大学 2006湖南大学 2006华南理工大学 2009重庆大学 2013
第27题证明题
27．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ ：连续，且对每一个 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle y \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle |f(y)| \leqslant \frac{1}{2}|f(x)|$ 。证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0$ 。（浙江大学 2005 ，南开大学 2008 ，深圳大学 2004 ，扬州大学 2011 ，江苏大学 $\displaystyle 2007 / 2012$ ，西北大学 2004 ，沈阳工大 2009 ，苏州科技 2008 ，哈工大 2004 ，华东理工 2002 ，首都师大 2012$\displaystyle )$
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，对任 何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle y \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle z \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ，使得 $\displaystyle |f(y)| \leqslant z|f(x)|$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上至少有一个零点．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且存在 $\displaystyle \lambda \in(0,1)$ ，对任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle y \in[a, b]$ 使 $\displaystyle |f(y)| \leqslant \lambda|f(x)|$ ．则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内有零点．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ ：连续，且对每一个 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle y \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle |f(y)| \leqslant \frac{1}{2}|f(x)|$ 。证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0$ 。（浙江大学 2005 ，南开大学 2008 ，深圳大学 2004 ，扬州大学 2011 ，江苏大学 $\displaystyle 2007 / 2012$ ，西北大学 2004 ，沈阳工大 2009 ，苏州科技 2008 ，哈工大 2004 ，华东理工 2002 ，首都师大 2012$\displaystyle )$
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，对任 何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle y \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle z \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ，使得 $\displaystyle |f(y)| \leqslant z|f(x)|$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上至少有一个零点．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且存在 $\displaystyle \lambda \in(0,1)$ ，对任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle y \in[a, b]$ 使 $\displaystyle |f(y)| \leqslant \lambda|f(x)|$ ．则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内有零点．
中国科学院 2006扬州大学 2008
第28题未分类
28．设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1]$ ．证 明：（1）存 在一 点 $\displaystyle \xi \in[0,1]$ 使 $\displaystyle \sin ^{2}(\pi f(\xi))=\xi$ ；（2）若 $\displaystyle f(x)=x$ ，则 $\displaystyle \sin ^{2}(\pi x)=x$ 有且仅有三个根．
中国科学技术大学 2008
第29题证明题
29．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle n$ 是正整数，给定方程 $\displaystyle x+x^{2}+\cdots+x^{n}=1$ 。证明：此方程仅有唯一的正根 $\displaystyle x_{n} \in(0,1)$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2}$ ．．华中科技 2013，北京师大 1997，苏州大学 2004，宁波大学 2011，上海理工 2003，吉林大学，山西大学 2005，西安电子科技 2011／2002，西南交大 2005，西南交大 2008，相潭大学 2011）
（2）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\sin x+\sin ^{2} x+\cdots+\sin ^{n} x$ 。证明：（1）对任意正整数 $\displaystyle n$ ，方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在 $\displaystyle \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 仅有
一根；（2）设 $\displaystyle x_{n} \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 是 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 的根，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\cos x+\cos ^{2} x+\cdots+\cos ^{n} x$ ，求证：对任意自然数 $\displaystyle n(n \geqslant 2)$ ，方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在区间 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 内必有唯一根 $\displaystyle x_{n}$ ，并求数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ 。
（4）设 $\displaystyle n$ 是正整数，给定方程 $\displaystyle x^{n}+x=1$ ．证明：（1）此方程仅有唯一的正根 $\displaystyle x_{n} \in(0,1)$ ； （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ ．
（5）证明：$\displaystyle x+x^{3}+\cdots+x^{2 n-1}=1$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 仅有一个根 $\displaystyle x_{n}$ ，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（1）设 $\displaystyle n$ 是正整数，给定方程 $\displaystyle x+x^{2}+\cdots+x^{n}=1$ 。证明：此方程仅有唯一的正根 $\displaystyle x_{n} \in(0,1)$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2}$ ．．华中科技 2013，北京师大 1997，苏州大学 2004，宁波大学 2011，上海理工 2003，吉林大学，山西大学 2005，西安电子科技 2011／2002，西南交大 2005，西南交大 2008，相潭大学 2011）
（2）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\sin x+\sin ^{2} x+\cdots+\sin ^{n} x$ 。证明：（1）对任意正整数 $\displaystyle n$ ，方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在 $\displaystyle \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 仅有
一根；（2）设 $\displaystyle x_{n} \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 是 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 的根，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\cos x+\cos ^{2} x+\cdots+\cos ^{n} x$ ，求证：对任意自然数 $\displaystyle n(n \geqslant 2)$ ，方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在区间 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 内必有唯一根 $\displaystyle x_{n}$ ，并求数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ 。
（4）设 $\displaystyle n$ 是正整数，给定方程 $\displaystyle x^{n}+x=1$ ．证明：（1）此方程仅有唯一的正根 $\displaystyle x_{n} \in(0,1)$ ； （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ ．
（5）证明：$\displaystyle x+x^{3}+\cdots+x^{2 n-1}=1$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 仅有一个根 $\displaystyle x_{n}$ ，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
北京师范大学 1999浙江大学 2002西安电子科技大学 2003南京大学 2004西南大学 2004华中师范大学 2006武汉科技大学 2006北京航空航天大学 2008
+4
第30题证明题
30．设实数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}=1, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=2$ 。证明：当 $\displaystyle n$ 充分大时，方程 $\displaystyle x^{8}+a_{n} x=b_{n}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有且有一个解 $\displaystyle x_{n}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ ．
苏州大学 2012